深化探究C语言中的二叉树

宁立 · 发布于 2023-5-12 16:43:57

1.树概念及构造

1.1树的概念

树是一种非线性的数据构造，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

补充：
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵构造与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只要一个前驱，可以有0个或多个后继。因而，树是递归定义的。

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点（亲兄弟）；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；（后面学习的并查集就是一颗森林）

我们必需理解这些概念，因为我们后面做题会问怎么求这些。比如：求二叉树的深度

1.3 树的表示

树构造相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较费事了，既然保管值域，也要保管结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的理解其中最常用的孩子兄弟表示法。

代码表示

画图表示

2.二叉树概念及构造

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合：
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

图来！！！

从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因而二叉树是有序树

2.2 特殊的二叉树

满二叉树和完全二叉树介绍

2.3 二叉树的性质

2.4 简单二叉树题目练习

2.4.1

运用性质3秒解

2.4.2

我们观察这个完全二叉树，可以得出二叉树最多存在三个度，度为0、1、2。而且度为1的只可能有两个取值0或1
这时我们可以利用性质3，将n2用n0表示，这样就可以算出叶子节点个数（也就是度为0的节点个数）

2.4.3

高度为h的完全二叉树节点范围是多少呢？
最小值：当第h层只要一个节点的时候（为什么要有一个节点呢，因为题目说的是完全二叉树，假设第h层没有节点的话就是h-1层的满二叉树了）

2.4.4

2.5 二叉树的存储构造

二叉树一般可以使用两种构造存储，一种顺序构造，一种链式构造。

2.5.1 顺序存储——堆

顺序构造存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适宜表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只要堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

顺序存储逻辑图

顺序存储构造只适用于完全二叉树和满二叉树，用数组的方式存储，可以计算父子之间的下标关系

不是完全二叉树和满二叉树，就会呈现下面的问题，有空间的浪费（不适宜），下面的链式存储构造更适宜这种二叉树

2.5.2 链式存储

二叉树的链式存储构造是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式构造又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据构造如红黑树等会用到三叉链。

二叉链和三叉链

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